当且仅当直线 \(x + y = u\) 与该圆相切于点 \((1, 1)\) 时，\(u = x + y\) 取得最大值 \(2\)。
令 \(x = 3^a\)，\(y = 5^b\)。因为 \(a, b \in \mathbb{R}\)，所以显然有指数函数的值域限制：
$$x > 0, \quad y > 0$$已知等式 \(3^a + 5^b = 9^a + 25^b\) 可化为关于 \(x, y\) 的代数方程：
$$x + y = x^2 + y^2$$将其配方可得标准圆方程：
$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$$这表明点 \((x, y)\) 是以 \(C\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\) 为圆心、半径 \(R = \frac{\sqrt{2}}{2}\) 的圆在第一象限内的点。
目标式为 \(27^a + 125^b = (3^a)^3 + (5^b)^3 = x^3 + y^3\)。利用立方和公式与基本对称多项式展开：
$$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$$令 \(u = x + y\)。由已知条件 \(x^2 + y^2 = x + y = u\)，两边平方可表示交叉项 \(xy\)：
$$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \implies u^2 = u + 2xy \implies xy = \frac{u^2 - u}{2}$$将其代入目标式：
$$x^3 + y^3 = u \cdot (u - xy) = u\left(u - \frac{u^2 - u}{2}\right) = u \cdot \frac{3u - u^2}{2} = \frac{3u^2 - u^3}{2}$$从而，原本的双变量问题转化为了关于单一变量 \(u = x+y\) 的函数极值问题。
由柯西不等式（或基本不等式）：
$$(x + y)^2 \le (1^2 + 1^2)(x^2 + y^2) = 2(x + y)$$即 \(u^2 \le 2u\)。因为 \(x > 0, y > 0 \implies u > 0\)，不等式两边同除以 \(u\) 得：
$$u \le 2$$由 \(u^2-u=2xy\)，又因为 \(x,y>0\)，得到：
$$u(u-1)=2xy>0$$结合 \(u>0\)，可知 \(u>1\)。因此 \(1<u\le2\)。这一范围内的每个 \(u\) 都可实现：取
$$x=\frac{u+\sqrt{u(2-u)}}2,\qquad y=\frac{u-\sqrt{u(2-u)}}2$$便有 \(x,y>0\) 且 \(x^2+y^2=x+y=u\)，故准确范围为 \(u\in(1,2]\)。从图形看，圆与坐标轴的交点为 \((0,0)\)、\((1,0)\)、\((0,1)\)，其中第一象限内有效圆弧的两个端点是 \((1,0)\) 和 \((0,1)\)，因 \(x,y>0\) 而不取端点。当且仅当 \(x=y=1\) 时，\(u\) 取得最大值 \(2\)。
构造函数 \(f(u) = \frac{3u^2 - u^3}{2}\)，对 \(u\) 求导：
$$f'(u) = \frac{6u - 3u^2}{2} = \frac{3u(2 - u)}{2}$$当 \(u \in (1, 2)\) 时，\(u > 0\) 且 \(2 - u > 0\)，因此 \(f'(u) > 0\)。
这说明函数 \(f(u)\) 在区间 \((1, 2]\) 上单调递增。因此，当 \(u = 2\) 时，目标式取得最大值：
$$f(u)_{\max} = f(2) = \frac{3 \times 2^2 - 2^3}{2} = \frac{12 - 8}{2} = 2$$当且仅当 \(x = y = 1\) 时取得最大值：
$$3^a = 1 \implies a = 0$$ $$5^b = 1 \implies b = 0$$此时 \(a, b \in \mathbb{R}\) 均有实数解，条件完全满足。